دانلود کامل پایان نامه بررسی حل معادلات عددی دیفرانسیل

Published on Author adminwebLeave a comment

پایان نامه بررسی حل معادلات عددی دیفرانسیل

پایان نامه بررسی حل معادلات عددی دیفرانسیل در 184 صفحه ورد قابل ویرایش
دسته بندی فنی و مهندسی
بازدید ها 27
فرمت فایل doc
حجم فایل 89 کیلو بایت
تعداد صفحات فایل 184

پایان نامه بررسی حل معادلات عددی دیفرانسیل

فروشنده فایل

کد کاربری 25235

کاربر

پایان نامه بررسی حل معادلات عددی دیفرانسیل در 184 صفحه ورد قابل ویرایش

فهرست

مقدمه – معرفی معادلات دیفرانسیل 4

بخش اول – حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی 20

فصل اول – معادلات دیفرانسیل معمولی تحت شرط اولیه 20

فصل دوم – معادلات دیفرانسیل معمولی تحت شرایط مرزی 66

فصل سوم – معادلات دیفرانسیل خطی 111

بخش دوم – حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی 125

فصل اول – حل معادلات عددی هذلولوی 128

فصل دوم – حل معادلات عددی سهموی 146

فصل سوم – حل معادلات عددی بیضوی 164

فصل چهارم – منحنی های مشخصه 184

مقدمه

معرفی معادلات دیفرانسیل

معادله در ریاضیات وقتی با اسم خاص و صورت خاص می آید خود به تنهایی مسأله ای را نمایش می دهد كه در آن می خواهیم مجهولی را بدست آوریم.

كاربرد معادله دیفرانسیل از نظر تاریخی با معرفی مفهوم های مشتق و انتگرال آغاز گردید. ساده ترین نوع معادله دیفرانسیل آن دسته از معادلاتی هستند كه مشتق تابع جواب را داشته باشیم. كه چنین محاسبه ای به پاد مشق گیری و انتگرال گیری نامعین موسوم است.

معادلات دیفرانسیل وابستگی بین توابع و مشتق های توابع را نشان می دهد. كه از لحاظ تاریخی به طور طبیعی از زمان كشف مشتق به وسیله نیوتن ولایب نیتس آغاز می شود. (قرن هفدهم میلادی). كه با رشد سریع علم و صنعت در قرن بیستم روشهای عددی حل معادلات دیفرانسیل مورد توجه قرار گرفتند كه توسعه و پیشرفت كامپیوتر ها در پایان قرن بیستم موجب كاربرد روش های تقریبی تعیین جواب معادلات دیفرانسیل در بسیاری از زمینه های كاربردی گردید كه باعث بوجود آمدن مباحث جدید در این زمینه شد.

نمادها و مفاهیم اساسی

اگر تابعی از متغیر حقیقی باشد و ضابطه آن و متغیر تابع یا مقدار تابع باشد، آنگاه مشتق با یكی از نمادهای نمایش داده می شود. همچنین مشتق دوم، سوم،… و ام آن نیز به ترتیب با نمادهای

نمایش داده می شوند. اگر تابعی از دو متغیر حقیقی باشد آنگاه مشتق های جزئی با نمادهای نمایش داده می شوند. همچنین اگر آنگاه مشتق های جزئی با نمادهای و یا

نمایش داده می شوند.

همچنین داریم:

كه این توابع مشتقات جزئی مرتبه دوم و مراتب بالاتر است.

همچنین برای توابع متغیر حقیقی داریم:

كه فرض می كنیم همه مشتقات جزئی تا مرتبه مورد نظر پیوسته باشند.

حال برای تابع از متغیر حقیقی با مقدار حقیقی را دیفرانسیل تابع گویند. اگر تابع از متغیر حقیقی باشد.

را دیفرانسیل كامل تابع گویند. كه در حالت خاص اگر از دو متغیر حقیقی با مقدار حقیقی باشد داریم:

معادلات دیفرانسیل معمولی و با مشتقات جزئی

یك معادله دیفرانسیل هر كدام از توابع ضمنی از متغیر یا متغیرهای مستقل، متغیر یا متغیرهای تابع و مشتق های متغیر یا متغیر های تابع نسبت به متغیر یا متغیرهای مستقل می تواند باشد كه حتماً باید لا اقل یك مشتق ساده یا جزئی در آن حضور داشته باشد.

معادله دیفرانسیل یك نوع از معادلات دیفرانسیل است كه فقط یك متغیر مستقل در آن وجود دارد. و متغیر تابع و

مشتقات مرتبه اول تا ام نسبت به است. متغیر می توانند در معادلات دیفرانسیل نباشند ولی حضور لااقل یك مشتق الزامی است. معادله دیفرانسیل

یك نوع معادله است كه شامل متغیر مستقل است و فقط یك متغیر تابع دارد كه در آن تابعی از ها است.

برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل می گوییم هرگاه همه مشتق های ظاهر شده در معادله مشتق ساده باشند آنگاه معادله را معادله دیفرانسیل معمولی (یا ساده یا عادی) می نامیم. اما اگر در عبارت معادله لااقل یك مشتق جزئی ظاهر شود آن را یك معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی یا معادله دیفرانسیل نسبی می نامیم.

معادلات دیفرانسیل زیر از جمله معادلات دیفرانسیل مهم هستند:

(معادله خطی غیر همگن)؛

(معادله بزنولی)

(معادله ریكاتی)

(معادله لا پلاس)

(معادله كلرو) غیر خطی؛

(معادله لاگرانژ) غیر خطی؛

(معادله یك بعدی حرارتی) ثابت؛

(معادله اولر) ثابت؛

(معادله لژ اندر) ثابت؛

(معادله بسل) ثابت نا منفی؛

(معادله پواسن)

(معادله یك بعدی موج) ثابت؛

(معادله ترافیك)

(معادله لاگرانژ)

(معادله پفافی)

(معادله ارتعاش تیر) ثابت

از معادلات دیفرانسیل فوق معادلات (3)(4)(5)(7)(8)(10)(11)(12) معادلات دیفرانسیل معمولی و بقیه معادلات دیفرانسیل نسبی می باشند.

اگر بخواهیم یك معادله را به صورت دیفرانسیلی بنویسیم می توانیم به جای عبارت را جایگزین كنیم. مثلاً برای معادله به صورت

است.

4.1 روشهای گالركین

یك راه انجام چنین روشی برای مسایل هذلولوی با یك تك معادلة مرتبه اول همراه با شرایط مرزی و اولیه زیر نشان داده خواهد شد:

(24)

با انتخاب برخی توابع پایه ای از مثلاً شروع می كنیم. سعی می كنیم مسأله مان را با یك تابع به شكل زیر حل كنیم

(25)

توابع برای كمك كردن در این كار در دسترس هستند وقتی كه تابع آزمایشی (25) در معادله دیفرانسیل جایگذاری می شود، نتیجه برابر است با:

(26)

در دنبال كردن این استراتژی انتظار نداریم توابع ای بیابیم كه معادله به ازای آنها درست باشد. دلیل آن، البته این است كه جواب مسأله مقدار مرزی (24) احتمالاً با جملات توابع انتخاب شده به صورت معادله (25) قابل بیان نخواهد بود. در روش گالركین یك جواب تقریبی معادلة (26) جستجو می شود. در همان زمان، باید شرایط مرزی و اولیه (24) را به حساب آوریم. برای سادگی اجازه دهید فرض كنیم كه هر تابع پایه ای در صفر ویك، صفر می شود. پس شرایط مرزی همگن به طور خودكار توسط تابع آزمایشی (25) برقرار خواهند بود. سپس از هر دو طرف معادلة (26) با به ازای ضرب داخلی می گیریم. نتیجه برابر است با:

در اینجا از نماد گذاری استفاده شده است معادله

(27) یك دستگاه معادلات دیفرانسیل همگن خطی از تابع مجهول است. ملاحظه می كنیم كه یك مزیت بزرگ در انتخاب

كه یك دستگاه یكا متعامد بر روی بازه می باشد وجود دارد. با فرض اینكه چنین حالتی باشد معادلة (27) شكل زیر را اختیار می كند:

(28)

كه در آن یك ماتریس است كه عناصر آن عبارتند از

اكنون شرایط اولیه در (24) به صورت زیر در می آید:

(29)

مجداداً، این احتمالاً غیر ممكن است كه به طور دقیق برقرار باشد و اگر چنین باشد می توان را طوری انتخاب كرد كه معادله (20) تا حد ممكن، مثلاً در نرم ، تقریباً برقرار باشد. چون توابع فرض شده اند كه یك دستگاه یكامتعماد تشكیل می دهند، این به معنی آن است كه

(30)

معادله (30) شرایط اولیه را برای جواب دستگاه (28) فراهم می سازد. و همانطور كه در بخش دستگاه معادلات دیفرانسیل گفتیم جواب این دستگاه برابر است با

یك دستگاه یكامتعماد مناسب و متشكل از توابعی كه در صفر و 1 صفر می شوند، عبارت است از

دستگاه دیگر می تواند با استفاده از رویة گرام – اشمیت بر روی دنباله توابع كه در آن ساخته شود.

مثال: با استفاده از روش تفاضل متناهی معادلة موج را برای یك سیم مرتعش كه در زیر با شرایط مرزی داده شده است، حل كنید.

به ازای

به ازای

به ازای

به ازای

حل: برای راحتی انتخاب می كنیم چون خواهیم داشت. چون سطر دوم را به صورت زیر تولید می كنیم:

به ازای

با جایگذاری در معادله تفاضلی ساده شده زیر بدست می آید:

با متوالیاً به كاربران فرمولهای فوق برای تولید سطرها، تقریبها برای

به دست خواهند آمد این تقریبها برای

در جدول زیر آمده است:

مقادیر این جدول با دقت 6 رقم اعشار بدست آمده و با جواب تحلیلی

مطابقت می نماید. یك نمایش سه بعدی از داده های جدول به شكل زیر است:

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *